Question

已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），常数k＜0，且k＜0，且f（x）在区间[0，2]上有表达式f（x）=x（x-2）
（1）求f（-1），f（2.5）；
（2）若k=-2，写出f（x）在[-3，3]上得表达式，并讨论函数f（x）在[-3，3]上得单调性；
（3）求f（x）在[-3，3]上得最小值和最大值，并求出相应的自变量的取值．

Answer

（1）利用f（-1）=kf（1），由 f（0.5）=k f（2.5），得到f（2.5）=f（0.5）=（0.5-2）•0.5．
（2）有条件可得f（x）=f（x-2），当-2≤x＜0时，-3≤x＜-2时，分别求出f（x）的解析式，从而得到f（x）在在[-3，3]上的表达式，通过表达式研究单调性．
（3）由（2）中函数f（x）在[-3，3]上的单调性可知，在x=-3或x=1处取最小值，在x=-1或x=3处取最大值．
【解析】
（1）∵f（x）=kf（x+2），且f（x）在区间[0，2]上有表达式f（x）=x（x-2）
∴f（-1）=kf（1）=k×1×（1-2）=-k
f（2.5）===-
（2）对任意实数x，f（x）=kf（x+2），
∴f（x-2）=kf（x），
∴f（x）=f（x-2）．
当-2≤x＜0时，0≤x+2＜2，f（x）=kf（x+2）=kx（x+2）；
当-3≤x＜-2时，-1≤x+2＜0，f（x）=kf（x+2）=k2（x+2）（x+4）
故f（x）=
∵k=-2
∴f（x）在[-3，-1]和[1，3]上单调递增，在[-1，1]单调递减；
（3）由（2）中函数f（x）在[-3，3]上的单调性可知，
f（x）在x=-3或x=1处取最小值f（-3）=-k2或f（1）=-1，
而在x=-1或x=3处取最大值f（-1）=-k或f（3）=-，
故有：
①k＜-1时，f（x）在x=-3处取最小值f（-3）=-k2，在x=-1处取最大值f（-1）=-k；
②k=-1时，f（x）在x=-3与x=1处取最小值f（-3）=f（1）=-1，在x=-1与x=3处取最大值f（-1）=f（3）=1；
③-1＜k＜0时，f（x）在x=1处取最小值f（1）=-1，在x=3处取最大值f（3）=-．