Question

已知函数f（x）=log₂．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并给予证明；
（3）求不等式f（x）＞1的解集．

Answer

（1）对数的真数部分大于零，即解不等式＞0，即 （x+1）（x-1）＜0，由此求得函数的定义域．
（2）函数f（x）为奇函数，根据函数的定义域为（-1，1），再由f（-x）=-f（x），可得结论．
（3）解不等式f（x）＞1，即 log2＞1=log22，从而有 ，由此求得不等式的解集．
【解析】
（1）由题意可得＞0，即 ＜0，即 （x+1）（x-1）＜0，…..2分
解得-1＜x＜1，…..4分
函数的定义域为（-1，1）．  …..5分
（2）函数f（x）为奇函数．…..6分
证明：由第一问得，函数的定义域为（-1，1），…..7分
∵f（-x）==log2 =-=-f（x），…..9分
所以函数f（x）为奇函数．…..10分
（3）解不等式f（x）＞1，即 log2＞1=log22，…..11分
从而有 ，…..12分 
所以-1＜x＜-，…..14分
不等式f（x）＞1的解集为（-1，- ）．…..15分．