Question

已知函数（k∈R）．
（1）当x＞0时，F（x）=m（x），且F（x）为R上的奇函数．求x＜0时，F（x）的表达式；
（2）若f（x）=m（x）+n（x）为偶函数，求k的值；
（3）对（2）中的函数f（x），设，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer

（1）利用x＞0时，F（x）=，F（x）为R上的奇函数，可求得x＜0时，F（x）的表达式；
（2）利用偶函数的定义f（-x）=f（x）即-kx=+kx，即可求得k的值；
（3）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点⇔方程-x=有且只有一个实根⇔2x+=2x-1-a有且只有一个实根，令t=2x＞0，则方程t2+at+1=0有且只有一个正根，利用△=0即可求得a的值．
【解析】
（1）∵x＞0时，F（x）=m（x）=，
∴当x＜0时，-x＞0，
∴F（-x）=，又F（x）为R上的奇函数，
∴-F（x）=，即F（x）=-…（3分）
（2）∵函数f（x）=m（x）+n（x）=+kx为偶函数，
∴f（-x）=f（x）即-kx=+kx，…（5分）
而=-=-x，
∴-x-kx=kx恒成立，
∴2k+1=0，
∴k=-…（7分）
（3）∵函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，
∴方程-x=有且只有一个实根，…（8分）
化简得：方程2x+=2x-1-a有且只有一个实根，…（9分）
令t=2x＞0，则方程t2+at+1=0有且只有一个正根，
①△=0⇒a=-，
②若一个正根和一个负根，不满足题意…（11分）
所以实数a的取值范围为{a|a=-}…（12分）