Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），x∈R，设函数g（x）=f（x）-2kx．
（1）若f（1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求f（x）的表达式；
（2）若g（x）在x∈[-1，1]上是单调函数，求实数k的取值范围．
（3）求g（x）在x∈[-2，2]上的最小值h（k）．

Answer

（1）由已知f（1）=0可得a+b+1=0，由f（x）的值域为[0，+∞）可得△=b2-4a=0，联立方程可求a，b，进而可求f（x）
（2）由g（x）=f（x）-2kx=ax2+（b-2k）x+1，分类讨论：1°当a=0时，g（x）=（b-2k）x+1，结合一次函数的性质可求；2°当a≠0时，g（x）的对称轴：，由g（x）在x∈[-1，1]上单调可得或可求
（3）：1°当a=0时，g（x）=（b-2k）x+1，结合一次函数的单调性可求；2°当a＞0时，g（x）的对称轴：且开口向上，通过讨论对称轴与区间的位置关系，结合二次函数在该区间上的单调性可求
【解析】
（1）显然a≠0
∵f（1）=0
∴a+b+1=0-----------（1分）
∵x∈R，且f（x）的值域为[0，+∞）
∴△=b2-4a=0---------（3分）
由可得
∴f（x）=x2-2x+1（5分）
（2）g（x）=f（x）-2kx=ax2+（b-2k）x+1
1°当a=0时，g（x）=（b-2k）x+1，
∵g（x）在x∈[-1，1]上单调，
∴b≠2k
2°当a≠0时，g（x）图象满足：对称轴：
∵g（x）在x∈[-1，1]上单调
∴或
①当a＞0时，或
②当a＜0时，或（10分）
（3）：1°当a=0时，g（x）=（b-2k）x+1
①当b-2k=0，即时，h（k）=1
②当b-2k＞0，即时，h（k）=g（-2）=4k-2b+1
③当b-2k＜0，即时，h（k）=g（2）=-4k+2b+1
2°当a＞0时，g（x）图象满足：对称轴：且开口向上
①当，即时，h（k）=g（-2）=4a-2b+4k+1
②当，即时，
③当，即时，h（k）=g（2）=4a+2b-4k+1
3°当a＜0时，g（x）图象满足：对称轴：且开口向下
①当，即时，h（k）=g（2）=4a+2b-4k+1
②当，即时，h（k）=g（-2）=4a-2b+4k+1（16分）