Question

已知椭圆与x轴相切，两个焦点坐标为F₁（1，1），F₂（5，2），则其长轴长为    ．

Answer

依题意可得该椭圆的中心M（3，），2c=，从而可得b2=a2-，设椭圆方程为+=1，令y=0，整理成关于x的一元二次方程，依题意，只需△=0即可求得a，从而可得2a．
【解析】
∵分别过F1（1，1），F2（5，2），向x轴作垂线交x轴为A，B，
设M是椭圆和x轴切点，过M做垂线交F1F2于Q，连接F1M，F2M，延长F2F1交x轴为K，
则K点坐标为K（-3，0）且tan∠F2KM=（斜率）
由于∠F1MQ=∠QMF2（椭圆的光学性质，入射角等于反射角．）
所以△F1MA∽△F2MB，相似比为λ=2，
∴M坐标为（，0）
故|F2M|=2|F1M|，
∴长轴2a=|F1M|+|F2M|=+=+=5
故答案为：5．