Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2，（n=1，2，3…）数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求满足S_n＜167的最大正整数n．

Answer

（ I）根据Sn=2an-2，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-2an-1，可得数列{an}是等比数列；利用点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，可得数列{bn}是等差数列，故可求数列{an}和{bn}的通项公式；
（ II）利用错位相减法求和，利用Sn＜167，建立不等式，从而可求满足条件Sn＜167最大的正整数．
【解析】
（ I）∵Sn=2an-2，∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-2an-1
∵an≠0，∴（n≥2），即数列{an}是等比数列．
∵Sn=2an-2，∴当n=1时，a1=2，∴                               …（3分）
∵点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上
∴bn-bn+1+2=0，∴bn+1-bn=2
即数列{bn}是等差数列，又b1=1，∴bn=2n-1     …（6分）
（ II）Sn=a1b1+a2b2+…+anbn=1×2+3×22+…+（2n-1）×2n ①（7分）
∴2Sn=1×22+3×23+…+（2n-1）×2n+1②
①-②得：-Sn=1×2+2（22+23+…+2n）-（2n-1）×2n+1②…（9分）
∴（10分）
∵Sn＜167，即（2n-3）•2n+1+6＜167
于是（2n-3）•2n+1＜161（11分）
又由于当n=4时，（2n-3）•2n+1=160
当n=5时，（2n-3）•2n+1=448（13分）
故满足条件Sn＜167最大的正整数n为4（14分）