Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）图象过点P（1，2），且f（x）在点P处的切线与直线y=8x+1平行．
（1）求a，b的值
（2）若在[-1，1]上恒成立，求正数m的取值范围．

Answer

（1）根据f（x）在点P（1，2）处的切线与直线y=8x+1平行建立两个等式关系，f'（1）=8，f（1）=2，解方程组即可求出a与b的值；
（2）将在[-1，1]上恒成立转化成f（x）max≤m+，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，然后解不等式f（x）max≤m+，即可求出m的取值范围．
【解析】
（1）f′（x）=3x2+2ax+6（1分）
由已知得
（3分）
解得
∴f（x）=x3+4x2-3x（5分）
（2）由已知只须f（x）max≤m+（6分）
f′（x）=3x2+8x-3
令f′（x）＞0解得x＞或x＜-3
则f（x）在（，+∞）和（-∞，3）上单调递增
令f′（x）＜0，解得-3＜x＜
则f（x）在（-3，）上单调递减（8分）
∴f（x）在[-1，]上单调递减
在[，1]上单调递增：
f（-1）=-1+4+3=6
f（1）=1+4-3=2
∴f（x）max=6．（10分）
则m+≥6，由m＞0，得m2-6m+5≥0，解得m≥5或0＜m≤1（12分）