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已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (Ⅰ)求b的值; (Ⅱ)判断函数f(x...

已知定义域为R的函数f(x)=manfen5.com 满分网是奇函数.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)判断函数f(x)的单调性;
(Ⅲ)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.
(Ⅰ)利用奇函数定义f(x)=-f(x)中的特殊值f(0)=0求b的值; (Ⅱ)设x1<x2然后确定f(x1)-f(x2)的符号,根据单调函数的定义得到函数f(x)的单调性; (III)结合单调性和奇函数的性质把不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0转化为关于t的一元二次不等式,最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围. 【解析】 (Ⅰ)因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0, 即 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 , 设x1<x2则f(x1)-f(x2)=-= 因为函数y=2x在R上是增函数且x1<x2∴f(x1)-f(x2)=>0 即f(x1)>f(x2) ∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数 (III)f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,又因为f(x)是奇函数, 所以f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2), 因为f(x)为减函数,由上式可得:t2-2t>k-2t2. 即对一切t∈R有:3t2-2t-k>0, 从而判别式 . 所以k的取值范围是k<-.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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