Question

如图，椭圆经过点离心率，直线的方程为.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)是经过右焦点的任一弦(不经过点)，设直线与直线相交于点，记的斜率分别为问:是否存在常数，使得若存在求的值；若不存在，说明理由.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的定义、几何性质可求；（Ⅱ）直线与椭圆相交，联立消元，设点代入化简可求.

试题解析：(Ⅰ)由在椭圆上得,   ①

依题设知,则    ②

②代入①解得.

故椭圆的方程为.         5分

(Ⅱ)由题意可设的斜率为, 则直线的方程为    ③

代入椭圆方程并整理,

得,                                      7分

设,则有     ④

在方程③中令得,的坐标为.

从而.

注意到共线,则有,即有.   

所以 

     ⑤                            11分

④代入⑤得,

又,所以.故存在常数符合题意.        15分

考点：椭圆，根与系数关系，坐标表示.