Question

设数列满足，令．
（Ⅰ）证明数列{b_n}是等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若存在m，n∈N^*，n≤10使得b₆，a_m，a_n依次成等比数列，试确定m，n的值．

Answer

由已知可得=，即可得，，可证
（Ⅱ）由（1）知，代入可得（m2-1）2=12（n2-1），结合左面是完全平方数，则n2-1可设为3k，
则n2=3k+1，检验可求k，进而可求m，n
（I ）证明：∵
∴=
∴
∵．
∴，
∴{bn}是以为公差，以为首项的等差数列
由等差数列的通项公式可得，
（Ⅱ）【解析】
由（1）知，
存在m，n∈N*，n≤10使得b6，am，an依次成等比数列
则，整理可得（m2-1）2=12（n2-1）
左面（m2-1）2是完全平方数，则12（n2-1）=4×3（n2-1）2也一定是完全平方数
∴n2-1可设为3k，k∈N*，且k是完全平方数n≤10，
∴n2=3k+1
∴当k=1时，n=2，m不存在
当k=4时，n不存在
当k=9时，n不存在
当k=16时，m=5，n=7
综上可得k=16时，m=5，n=7