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已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,直线l1:x=2,l2:y=-t2+8t...

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,直线l1:x=2,l2:y=-t2+8t(其中0≤t≤2.t为常数);若直线l1、l2与函数f(x)的图象以及l1,y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如阴影所示.
(Ⅰ)求a、b、c的值;
(Ⅱ)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式;
(Ⅲ)若g(x)=6lnx+m,问是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.

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(Ⅰ)由图象可知函数图象过点(0,0),(8,0),并且f(x)的最大值为16,分别代入即可解得a、b、c的值 (Ⅱ)先求出直线l1:y=-t2+8t(其中0≤t≤2.t为常数)与抛物线f(x)=-x2+8x的交点横坐标(用t表示),再利用定积分的几何意义求两部分面积之和即可 (Ⅲ)先令H(x)=g(x)-f(x)=x2-8x+6lnx+m,要使函数f(x)与函数g(x)有且仅有2个不同的交点,则函数H(x)=x2-8x+6lnx+m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点,再利用导数研究函数H(x)的单调性和极值,数形结合得满足题意的不等式组,解之可得m的值 【解析】 (I)由图形可知二次函数的图象过点(0,0),(8,0),并且f(x)的最大值为16 则, ∴函数f(x)的解析式为f(x)=-x2+8x (Ⅱ)由得x2-8x-t(t-8)=0,∴x1=t,x2=8-t, ∵0≤t≤2,∴直线l1与f(x)的图象的交点坐标为(t,-t2+8t) 由定积分的几何意义知:== (Ⅲ)令H(x)=g(x)-f(x)=x2-8x+6lnx+m. 因为x>0,要使函数f(x)与函数g(x)有且仅有2个不同的交点,则函数H(x)=x2-8x+6lnx+m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点 ∴ ∴x=1或x=3时,H′(x)=0 当x∈(0,1)时,H′(x)>0,H(x)是增函数; 当x∈(1,3)时,H′(x)<0,H(x)是减函数 当x∈(3,+∞)时,H′(x)>0,H(x)是增函数 ∴H(x)极大值为H(1)=m-7;H(x)极小值为H(3)=m+6ln3-15 又因为当x→0时,H(x)→-∞;当x→+∞时,H(x)→+∞ 所以要使ϕ(x)=0有且仅有两个不同的正根,必须且只须 即,∴m=7或m=15-6ln3. ∴当m=7或m=15-6ln3.时,函数f(x)与g(x)的图象有且只有两个不同交点
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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