Question

已知函数f（x）=x³-3ax²+3x+1．
（1）若f（x）在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求实数a的取值范围．

Answer

（1）依题意，f'（x）=3x2-6ax+3≥0恒成立，从而由∴△=36（a2-1）≤0，即可求得实数a的取值范围；
（2）由于f'（x）=3[（x-a）2+1-a2]，对 1-a2分 1-a2≥0与1-a2＜0讨论，当1-a2＜0时，令f'（x）=0，可得f（x）的两个极值点，结合题意即可求得实数a的取值范围．
【解析】
（1）因为f（x）在实数集R上单调递增，
∴f'（x）=3x2-6ax+3≥0恒成立
∴△=36（a2-1）≤0，解得：-1≤a≤1（5分）
（2）f'（x）=3（x2-2ax+1）=3[（x-a）2+1-a2]
当 1-a2≥0时，f'（x）≥0，f（x）在R上无极值点，（7分）
当 1-a2＜0时，|a|＞1，令f'（x）=0，易得f（x）有两个极值点（8分）
因为f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，
所以， （10 分）
不等式 2＜a-=＜3，无解，
解不等式 得  ．
所以，a的取值范围是（12分）