Question

已知f（x）=log₂（1+x）
（1）求g（x）=f（x）-f（-x）的定义域；
（2）判断g（x）=f（x）-f（-x）奇偶性；
（3）求使g（x）＜0的x的取值范围．

Answer

（1）根据题意可知x＞-1且-x＞-1，得到x的范围即得到g（x）的定义域．
（2）由（1）知，g（x）的定义域（-1，1）关于原点对称，再计算g（-x）与g（x）的关系，从而得出g（x）=f（x）-f（-x）是奇函数；
（3）g（x）＜0⇔log2（1+x）-log2（1-x）＜0⇔log2＜log21，最后转化成分式不等式求解即可．
【解析】
（1）因为f（x）的定义域为x∈（-1，+∞），
所以g（x）=f（x）-f（-x）的定义域为x＞-1且-x＞-1，
即-1＜x＜1，
∴g（x）=f（x）-f（-x）的定义域为（-1，1）；
（2）由（1）知，g（x）的定义域（-1，1）关于原点对称，
且g（-x）=f（-x）-f（x）=-（f（x）-f（-x））=-g（x），
故g（x）=f（x）-f（-x）是奇函数；
（3）g（x）＜0⇔log2（1+x）-log2（1-x）＜0⇔log2＜log21，
⇔0＜＜1，⇔0＜x＜，
∴使g（x）＜0的x的取值范围（0，）．