Question

已知圆C：x²+y²+2x-8y+9=0．
（I）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．
（II）从圆C外一点P（x，y）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．

Answer

（I）由已知中圆C：x2+y2+2x-8y+9=0，圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，由于原点在圆内，可得切线的斜率为-1，进而求出切线的方程．
（II）由从圆C外一点P（x，y）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，可当|PM|取得最小值时，PC与直线2x-8y+9=0垂直，进而得到点P的坐标．
【解析】
（I）⊙C的方程化为：（x+1）2+（y-4）2=8，显然O（0，0）在圆外．
若截距相等且不为0，可设切线l的方程为：，即：x+y-a=0．
则圆心C（-1，4）到切线l的距离为：d===2
∴|a-3|=4
即：a=7或a=-1．
此时切线l的方程为：x+y-7=0，或x+y+1=0．
当截距相等且均为0时，可设切线l的方程为：y=kx，即kx-y=0．
则圆心C（-1，4）到切线l的距离为：d==2
∴7k2-8k-8=0，得：k==
∴此时，切线的方程为y=x或y=x
综上，切线的方程为：x+y-7=0，或x+y+1=0，或y=x或y=x
（II）依题意，|PM|2=|PC|2-|MC|2=（x+1）2+（y-4）2-（2）2，
由|PM|=|PO|，
∴（x+1）2+（y-4）2-（2）2=x2+y2，
即：2x-8y+9=0
即，点P的轨迹方程为：2x-8y+9=0．…10分
只有当PC与直线2x-8y+9=0垂直时，切线PM的长最小．
此时可设切线的方程为8x+2y+c=0，将C（-1，4）代入，可得c=0．
由
即
即P坐标为（，）…13分．