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过圆C:(x-6)2+(y-4)2=8上一点A(4,6)作圆的一条动弦AB,点P...

过圆C:(x-6)2+(y-4)2=8上一点A(4,6)作圆的一条动弦AB,点P为弦AB的中点.
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)设点P关于x=1的对称点为E,关于y=x的对称点为F,求|EF|的取值范围.
(Ⅰ)连接PC,由垂径定理知,PC⊥AB,所以点P的轨迹是以线段AC为直径的圆(除去点A),求出AC中点C1坐标,圆半径,即可求得点P的轨迹方程;                   (Ⅱ)设点P(x,y),求出点E(2-x,y),点F(y,x),得到关系式,设点M(1,1),则|EF|=|PM|,利用|MC1|-r≤|PM|≤|MC1|+r,即可求得|EF|的取值范围. 【解析】 (Ⅰ)连接PC,由垂径定理知,PC⊥AB,所以点P的轨迹是以线段AC为直径的圆(除去点A). 因为点A(4,6),C(6,4),则AC中点C1坐标为(5,5),又圆半径. 故点P的轨迹方程是(x-5)2+(y-5)2=2 (x≠4,y≠6).(4分)                         (Ⅱ)设点P(x,y), 因为点P、E关于x=1对称,则点E(2-x,y)  因为P、F关于y=x对称,则点F(y,x) (6分)                                          所以  设点M(1,1),则|EF|=|PM| ∵|MC1|-r≤|PM|≤|MC1|+r ∴, ∴6≤|EF|≤10(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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