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已知:函数f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)...

已知:函数f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0.
(1)求f(0)的值.
(2)求f(x)的解析式.
(3)已知a∈R,设P:当manfen5.com 满分网时,不等式f(x)+3<2x+a恒成立;Q:当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-ax是单调函数.如果满足P成立的a的集合记为A,满足Q成立的a的集合记为B,求A∩CRB(R为全集).
(1)对抽象函数满足的函数值关系的理解和把握是解决该问题的关键,对自变量适当的赋值可以解决该问题,结合已知条件可以赋x=-1,y=1求出f(0); (2)在(1)基础上赋值y=0可以实现求解f(x)的解析式的问题; (3)利用(2)中求得的函数的解析式,结合恒成立问题的求解策略,即转化为相应的二次函数最值问题求出集合A,利用二次函数的单调性求解策略求出集合B. 【解析】 (1)令x=-1,y=1,则由已知f(0)-f(1)=-1(-1+2+1) ∴f(0)=-2 (2)令y=0,则f(x)-f(0)=x(x+1) 又∵f(0)=-2 ∴f(x)=x2+x-2 (3)不等式f(x)+3<2x+a即x2+x-2+3<2x+a 也就是x2-x+1<a.由于当时,,又x2-x+1=恒成立, 故A={a|a≥1},g(x)=x2+x-2-ax=x2+(1-a)x-2 对称轴x=, 又g(x)在[-2,2]上是单调函数,故有, ∴B={a|a≤-3,或a≥5},CRB={a|-3<a<5} ∴A∩CRB={a|1≤a<5}.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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