Question

已知两圆C₁：（x+4）²+y²=2，C₂：（x-4）²+y²=2，动圆M与两圆C₁，C₂都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（ ）
A．x=0
B．
C．
D．

Answer

由于动圆与两个定圆都相切，可分两类考虑，若动圆与两定圆相外切或与两定圆都内切，可以得出动圆与两定圆圆心的距离相等，故动圆圆心M的轨迹是一条直线，且是两定圆圆心连线段的垂直平分线．若一内切一外切，则到两圆圆心的距离差是一个常数，由双曲线的定义知，此种情况下轨迹是双曲线．
【解析】
由题意，①若两定圆与动圆相外切或都内切，即两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x-4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，
∴|MC1|=|MC2|，即M点在线段C1，C2的垂直平分线上
又C1，C2的坐标分别为（-4，0）与（4，0）
∴其垂直平分线为y轴，
∴动圆圆心M的轨迹方程是x=0
②若一内切一外切，不妨令与圆C1：（x+4）2+y2=2内切，与圆C2：（x-4）2+y2=2外切，则有M到的距离减到的距离的差是2，由双曲线的定义知，点M的轨迹是以（-4，0）与（4，0）为焦点，以为实半轴长的双曲线，故可得b2=c2-a2=14，故此双曲线的方程为
综①②知，动圆M的轨迹方程为
应选D．