Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（一1，1），P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足k_OP+k_OA=k_PA．
（I）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，试探究：点M的横坐标是否为定值？并说明理由．

Answer

（Ⅰ）设点P（x，y）为所求轨迹上的任意一点，则由kOP+kOA=kPA，得，由此能求出点P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）法一：设，由可知直线PQ∥OA，则kPQ=kOA，故x2+x1=-1，由O、M、P三点共线可知，与共线，由此能求出点M的横坐标为定值．
法二：设，由可知直线PQ∥OA，则kPQ=kOA，故x2=-x1-1，所以直线OP方程为：y=x1x，直线QA的斜率为：，由此能求出点M的横坐标为定值．
【解析】
（Ⅰ）设点P（x，y）为所求轨迹上的任意一点，
则由kOP+kOA=kPA，
得，（2分）
整理得轨迹C的方程为y=x2（x≠0且x≠-1），…（4分）
（Ⅱ）（方法一）设，
由可知直线PQ∥OA，则kPQ=kOA，
故，即x2+x1=-1，…（6分）
由O、M、P三点共线可知，与共线，
∴，
由（Ⅰ）知x1≠0，故y=xx1，（8分）
同理，由与共线，
∴，
即（x2+1）[（x+1）（x2-1）-（y-1）]=0，
由（Ⅰ）知x2≠-1，故（x+1）（x2-1）-（y-1）=0，（10分）
将y=xx1，x2=-1-x1代入上式得（x+1）（-2-x1）-（xx1-1）=0，
整理得-2x（x1+1）=x1+1，
由x1≠-1得，即点M的横坐标为定值．  （12分）
（方法二）
设，
由可知直线PQ∥OA，则kPQ=kOA，
故，即x2=-x1-1，（6分）
∴直线OP方程为：y=x1x①； （8分）
直线QA的斜率为：，
∴直线QA方程为：y-1=（-x1-2）（x+1），
即y=-（x1+2）x-x1-1②； （10分）
联立①②，得，
∴点M的横坐标为定值．（12分）