Question

已知向量=（，），=（cosx，sinx），x∈（0，）．
（1）若∥，求sinx和cos2x的值；
（2）若=2cos（+x）（k∈Z），求tan（x+）的值．

Answer

（1）由两向量的坐标，根据平面向量共线（平行）的坐标表示列出关系式，整理后利用同角三角函数间的基本关系求出cos2x的值，由x的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinx的值，同时再利用二倍角的余弦函数公式化简后，将cos2x的值代入即可求出cos2x的值；
（2）由平面向量的数量积运算法则计算后，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，代入已知的等式的左边，等式右边变形后利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系求出tan（x+）的值，把所求式子中的角度x+变形为（x+）+后，再利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将求出的tan（x+）的值代入即可求出值．
【解析】
（1）∵∥，向量=（，），=（cosx，sinx），
∴sinx=cosx，即sinx=cosx，
又∵sin2x+cos2x=1，
∴cos2x=，又∵x∈（0，），
∴sinx===，
cos2x=2cos2x-1=-1=-；
（2）∵•=cosx+sinx=cossinx+sincosx=sin（x+），
而2cos（x+）=2cos（2kπ+x++2π）=2cos（x+）（k∈Z），
于是sin（x+）=2cos（x+），即tan（x+）=2，
∴tan（x+）=tan[（x+）+]
=
=
=-3．