Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求直线AB₁和平面ABC₁D₁所成的角；
（2）M为BC₁上一点且BM=，在AB₁上找一点N使得MN∥A₁C．

Answer

先以D为原点建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，（1）先利用线面垂直的判定定理求平面ABC1D1的法向量，再求与此法向量的夹角的余弦值，其绝对值就是线面角的正弦值；
（2）设=λ，将用λ表示，要使MN∥A1C，只需存在μ，使=μ，列方程组即可解得λ的值，从而确定N点位置
【解析】
如图建立空间直角坐标系：设正方体棱长为1
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，1），D1（0，0，1），B1（1，1，1），A1（1，0，1），C（0，1，0）
（1）=（0，1，1），=（-1，0，1），=（0，1，0）
设平面ABC1D1所的法向量为=（x，y，z）
则．取=（1，0，1）
cos＜，＞===
设直线AB1和平面ABC1D1所成的角为θ
则sinθ=，又θ∈[0，]
∴θ=
∴直线AB1和平面ABC1D1所成的角为
（2）=（-1，1，-1），=（-1，0，1），
∵BM=，
∴==（-，0，）
设=λ=λ（0，-1，-1）=（0，-λ，-λ）
则=++=（，0，-）+（0，0，1）+（0，-λ，-λ）=（，-λ，-λ）
∵MN∥A1C．
∴（，-λ，-λ）=μ（-1，1，-1），∴
解得λ=

∴当=时，MN∥A1C．