Question

设函数f（x）=，其中=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期与单调减区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=2，求A．

Answer

由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则计算，表示出函数的解析式，第一项利用二倍角的余弦函数公式化简后，后两项提取2，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，
（1）找出ω的值，代入周期公式T=中，即可求出函数的最小正周期，再由余弦函数的单调递减区间为[2kπ，2kπ+π]列出关于x的不等式，求出不等式的解集可得出函数的递减区间；
（2）由f（A）=2，将x=A代入得到cos（2A-）的值，由A为三角形的内角，得到A的范围，进而确定出2A-的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
【解析】
∵=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），
∴f（x）==2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x
=1+2（cos2x+sin2x）=1+2cos（2x-），
（1）∵ω=2，∴T==π，
令2kπ≤2x-≤2kπ+π，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
则函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z；
（2）∵f（A）=2，∴1+2cos（2A-）=2，
∴cos（2A-）=，
∵A∈（0，π），∴2A-∈（-，），
∴2A-=，
则A=．