Question

求经过A（2，-1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上的圆的方程．
（I）求出圆的标准方程；
（II）求出（I）中的圆与直线3x+4y=0相交的弦长AB．

Answer

（I）设出圆心C的坐标为（a，-2a），利用圆经过A（2，-1），和直线x+y=1相切，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可确定出圆心坐标及半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可．
（II）求出圆心C到直线3x+4y=0的距离d，再由弦长公式可得弦长为2，即可得到结论．
【解析】
（I）因为圆心C在直线y=-2x上，可设圆心为C（a，-2a）．
则点C到直线x+y=1的距离d′==
据题意，d′=|AC|，则=（a-2）2+（-2a+1）2，
∴a2-2a+1=0
∴a=1．
∴圆心为C（1，-2），半径r=d=2，
∴所求圆的方程是（x-1）2+（ y+2）2=2 
 （II） 圆心（1，-2）到直线3x+4y=0的距离d=，半径r=，
故弦长为|AB|=2=2，