Question

设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（a≥0）．
（1）如果a=1，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若函数f（x）在区间（-1，e-1）上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）证明：当m＞n＞0时，（1+m）ⁿ＜（1+n）^m．

Answer

（1）确定函数的定义域，求导函数，从而确定f（x）的单调递减区间；
（2）先确定函数的单调递增区间，再根据f（x）在区间（-1，e-1）上单调递增，建立不等式，从而可求实数a的取值范围；
（3）根据要证明的结论，利用分析法来证明本题，从结论入手，要证结论只要证明后面这个式子成立，两边取对数，构造函数，问题转化为只要证明函数在一个范围上成立，利用导数证明函数的性质．
（1）【解析】
函数f（x）的定义域为（-1，+∞）（1分）
f′（x）=1-aln（x+1）-a（2分）
当a=1时，f′（x）=-ln（x+1）
当x＞0时，f′（x）＜0．
所以f（x）的单调递减区间为（0，+∞）．（4分）
（2）【解析】
①当a=0时，f′（x）=1＞0
∴f（x）在（-1，+∞）上是增函数    （5分）
②当a＞0时，令，
当f′（x）＞0时，得
所以f（x）的递增区间为（7分）
又因为f（x）在区间（-1，e-1）上单调递增
所以，由此得（8分）
综上，得（9分）
（3）要证：（1+m）n＜（1+n）m
只需证nln（1+m）＜mln（1+n），
只需证
设，（10分）
则（11分）
由（1）知：即当a=1时，f（x）=x-（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）单调递减，
即x＞0时，有f（x）＜f（0），-------（12分）
∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，所以g′（x）＜0，
即g（x）是（0，+∞）上的减函数，（13分）
即当m＞n＞0时，g（m）＜g（n），
故原不等式成立．         （14分）