Question

已知函数f（x）=kx³-3kx²+b，在[-2，2]上最小值为-17，最大值为3，求k、b的值．

Answer

由题设知k≠0且f'（x）=3kx（x-2），0＜x＜2时，x（x-2）＜0；x＜0或x＞2时，x（x-2）＞0；x=0和x=2时，f'（x）=0．由题设知-2≤x≤2，f（-2）=-20k+b，f（0）=b，f（2）=-4k+b．由此能够求出k、b的值．
【解析】
由题设知k≠0且f'（x）=3kx（x-2）…（1分）
0＜x＜2时，x（x-2）＜0；
x＜0或x＞2时，x（x-2）＞0；
x=0和x=2时，f'（x）=0．
由题设知-2≤x≤2，f（-2）=-20k+b，f（0）=b，f（2）=-4k+b…（3分）
①k＜0时，-2＜x＜0时，f'（x）＜0；
0＜x＜2时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（-2，0）上单减，在（-2，2）和上单增，…（4分）
x=0为f（x）的极小值点，也是最小值点；
∵f（-2）＞f（2）
∴f（x）的最大值是f（-2）…（6分）
解，
解得k=-1，b=-17．…（8分）
②k＞0时，-2＜x＜0时，f'（x）＞0；
0＜x＜2时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（-2，0）上单增，在（-2，2）和上单减，…（10分）
x=0为f（x）的极大值点，也是最大值点；
∵f（-2）＜f（2）
∴f（x）的最小值是f（-2）…（12分）
解，
解得k=1，b=3…（13分）
综上，k=-1，b=-17或k=1，b=3．…（14分）