Question

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．
（1）证明AD⊥D₁F；  
（2）求AE与D₁F所成的角；
（3）证明面AED⊥面A₁FD₁；
（4）．

Answer

解法一：传统证法．（1）利用线面垂直，证明线线垂直；
（2）设A1G与AE相交于点H，先证∠AHA1是AE与D1F所成的角，再求直线AE与D1F所成角；
（3）利用线面垂直，证明面面垂直；
（4）利用转换底面的方法，求三棱锥的体积；
解法二：向量证法．设正方体的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（2，0，0），F（0，1，0），E（2，2，1），A1（2，0，2），D1（0，0，2），
（1）利用，可证AD⊥D1F；
（2）求得=，可求AE与D1F所成的角；（3）由题意：，
设平面AED的法向量为，设平面A1FD1的法向量为，证明平面的法向量垂直，即可证明面AED⊥面A1FD1．
（4）先求得=，计算E到平面A1FD1的距离=，即可求三棱锥的体积．
解法一：（1）∵AC1是正方体，∴AD⊥面DC1．
又D1F⊂面DC1，∴AD⊥D1F．
（2）取AB中点G，连接A1G，FG．
因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，
又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F．
设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角，
因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，
∴∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°，即直线AE与D1F所成角为直角．
（3）由（1）知AD⊥D1F，由（2）知AE⊥D1F，
又AD∩AE=A，所以D1F⊥面AED．
又因为D1F⊂面A1FD1，
所以面AED⊥面A1FD1．
（4）连接GE，GD1．
∵FG∥A1D1，∴FG∥面A1ED1，
∵AA1=2，
∴面积S△A1GE=SABB1A1-2S△A1AG-S△GBE=
又=
∴
解法二：利用用向量求解
【解析】
设正方体的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（2，0，0），F（0，1，0），E（2，2，1），A1（2，0，2），D1（0，0，2），
（1）∵，，得，∴AD⊥D1F；
（2）又，得=
∴AE与D1F所成的角为90°
（3）由题意：，
设平面AED的法向量为，设平面A1FD1的法向量为，
由
由

得=
∴面AED⊥面A1FD1．
（4）∵AA1=2，，
平面A1FD1的法向量为
=，
∴E到平面A1FD1的距离=，
∴．