Question

已知定义在R⁺上的函数f（x）满足下列条件：①对定义域内任意x，y，恒有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时f（x）＜0；③f（2）=-1
（1）求f（8）的值；
（2）求证：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（3）解不等式：f（2^x+2）-f（2^x-4）＜-3．

Answer

（1）在f（xy）=f（x）+f（y）中，令x=y=2，可得f（4）的值，再令x=2，y=4可得，f（8）的值；
（2）用作差法证明，设0＜x1＜x2＜+∞，则＞1，结合题意可得f（）＜0，f（x2）-f（x1）=f（•x1）-f（x1）=f（），即可得证明；
（3）由（1）可得f（8）=-3，进而可将f（2x+2）-f（2x-4）＜-3，变形为f（2x+2）＜f[8•（2x-4）]，又由f（x）在（0，+∞）为减函数，可得关于x的不等式组，解可得答案．
【解析】
（1）在f（xy）=f（x）+f（y）中，令x=y=2，可得f（4）=f（2）+f（2）=-2，
令x=2，y=4可得，f（8）=f（2）+f（4）=-3，
则f（8）=-3；
（2）设0＜x1＜x2＜+∞，则＞1，则f（）＜0，
f（x2）-f（x1）=f（•x1）-f（x1）=f（）＜0，
即f（x2）＜f（x1），
则f（x）在（0，+∞）为减函数，
（3）f（2x+2）-f（2x-4）＜-3，即f（2x+2）-f（2x-4）＜f（8），
f（2x+2）＜f（2x-4）+f（8）=f[8•（2x-4）]，
又由f（x）在（0，+∞）为减函数，
∴解得：2＜x＜3
故2＜x＜3．