Question

下列不等式对任意的x恒成立的是（ ）
A．x-x²≥0
B．e^x≥e
C．lnx＞
D．sinx＞-x+1

Answer

由x-x2≥0，解得0≤x≤1，故A不正确；令f（x）=ex-ex，则f′（x）=ex-e，f''（x）=ex＞0，由f′（x）=ex-e，得x=1，由x=1处为f（x）的极小值点，知ex≥ex，故B成立．由lnx＞x和sinx＞-x+1都不恒成立，知C和D都不正确．
【解析】
∵x-x2≥0，∴x2-x≤0，
解得0≤x≤1，
∴A不正确；
令f（x）=ex-ex，则f′（x）=ex-e，
由f′（x）=ex-e=0，得x=1，令导数为正可得x＞1，令导数为负可得x＜1
∴x=1处为f（x）的极小值点，
∴f（x）≥f（1）=0，∴ex≥ex对任意实数恒成立，故B成立．
∵由ln1=0＜1，知lnx＞x不恒成立，
∴C不正确．
∵由sin0＜-0+1，知sinx＞-x+1不恒成立，
∴D不正确．
故选B．