Question

若m，n是关于x的方程x²-2ax+a+6=0的两个实根，则（m-1）²+（n-1）²的最小值是    ．

Answer

根据一元二次方程有两个根，利用根的判别式求出a的取值范围，再根据根与系数的关系求出m+n与mn的值，然后把所给的函数式整理成m+n与mn的形式，代入进行，根据二次函数的性质计算求解最值．
【解析】
依方程有两个实根得到△=4a2-4（a+6）≥0，
即a2-a-6≥0，
∴a≤-2或a≥3，（3分）
由根与系数的关系得到m+n=2a，mn=a+6，
y=（m-1）2+（n-1）2=m2+n2-2（m+n）+2
=（m+n）2-2mn-2（m+n）+2
=4a2-6a-10，
=4（a-）2-，
∴根据二次函数的性质知a=3时，y的最小值为8．（12分）
故答案为：8