Question

如图所示，F₁、F₂分别为椭圆C：的左、右两个焦点，A、B为两个顶点；已知顶点B到F₁、F₂两点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）证明：椭圆C上任意一点M（x，y）到右焦点F₂的距离的最小值为1．
（3）作AB的平行线交椭圆C于P、Q两点，求弦长|PQ|的最大值，并求|PQ|取最大值时△F₁PQ的面积．

Answer

（1）根据顶点B到F1、F2两点的距离之和为4，可得，从而可求椭圆方程；
（2）计算出椭圆C上任意一点M（x，y）到右焦点F2的距离，根据x∈[-2，2]，可证结论；
（3）先求，再求点F1（-1，0）到直线PQ的距离，即可求得△F1PQ的面积．
（1）【解析】
由已知得，
∴椭圆方程为…（2分）
（2）证明：∵M（x，y），F2（1，0）且x∈[-2，2]，
∴…（4分）
∴仅当M（x，y）为右顶点时|MF2|min=1…（5分）
（3）【解析】
设P（x1，y1），Q（x2，y2）∵，
∴可设直线PQ：，
代入，得…（7分）
由韦达定理知，，，…（9分）
又，
∴=
仅当m=0时…（12分）
而点F1（-1，0）到直线PQ：的距离，
∴．…（14分）