Question

若焦点在x轴上的椭圆上有一点，使它与两焦点的连线互相垂直，则正数b的取值范围是    ．

Answer

依题意，求b的范围就是求椭圆短半轴的范围，利用圆的几何性质，将椭圆上存在点使它与两焦点的连线互相垂直的问题转化为以原点为圆心，两焦点为端点的线段为直径的圆与椭圆有交点问题，由椭圆几何性质即可得关于b的不等式，解得b的取值范围
【解析】
∵椭圆的焦点在x轴上，故b2＜45，即正数b∈（0，3）   ①
设椭圆的焦距为2c，则以原点为圆心，两焦点为端点的线段为直径的圆O的方程为x2+y2=c2
要使椭圆上有一点，使它与两焦点的连线互相垂直，只需圆O与椭圆有交点，
由椭圆几何性质，只需半径c≥|b|
即c2≥b2，即45-b2≥b2，b2≤   ②
由①②解得：b∈（0，]
故答案为（0，]