Question

P是椭圆上的点，F₁、F₂ 是两个焦点，则|PF₁|•|PF₂|的最大值与最小值之差是    ．

Answer

由题意，设|PF1|=x，故有|PF1|•|PF2|=x（6-x）=-x2+6x=-（x-3）2+9，其中．根据 函数y=-x2+6x在（，3）上单调递增，上单调递减，可求y=-x2+6x的最小值与最大值，从而可求|PF1|•|PF2|的最大值和最小值之差．
【解析】
由题意，设|PF1|=x，
∵|PF1|+|PF2|=2a=6，
∴|PF2|=6-x
∴|PF1|•|PF2|=x（6-x）=-x2+6x=-（x-3）2+9
∵椭圆，a=3
∴
∵函数y=-x2+6x在（，3）上单调递增，上单调递减
∴x=时，y=-x2+6x取最小值，
x=3时，y=-x2+6x取最大值为9
∴|PF1|•|PF2|的最大值和最小值之差为9-4=5
故答案为：5