Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足
（I）求角C的大小；
（II）若边长c=2，求△ABC的周长的最大值．

Answer

（1）由题意可得absinC=•2abcosC，可求tanC，进而可求C
（2）由c=2，要求△ABC的周长的最大值，只要求a+b的最大值，由（1）知，C=，利用余弦定理可得，结合可求a+b的范围，可求周长的最大值
另法：由正弦定理得到=，，结合正弦函数的性质可求
【解析】
（1）由题意可知，（2分）
absinC=•2abcosC，所以tanC=．（5分）
因为0＜C＜π，所以C=．（6分）
（2）由（1）知，C=
∴
∴a2+b2-4=ab（7分）
∴（a+b）2-4=3ab（8分）
∵当且仅当a=b时取等号
∴（10分）
∴a+b≤4，
∴△ABC的周长最大值为6
另法：由正弦定理得到=
所以，
所以，当时，a+b最大值为4，所以△ABC的周长的最大值为6．
其他方法请分步酌情给分