Question

如图，在Rt△AOB中，∠OAB=，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C为直二面角．D是AB的中点．
（I）求证：平面COD⊥平面AOB；
（II）求异面直线AO与CD所成角的大小．

Answer

（1）欲证平面COD⊥平面AOB，先证直线与平面垂直，由题意可得：CO⊥AO，BO⊥AO，CO⊥BO，所以CO⊥平面AOB．
（2）求异面直线所成的角，需要将两条异面直线平移交于一点，由D为AB的中点，故平移时很容易应联想到中位线，作DE⊥OB，垂足为E，连接CE，则DE∥AO，所以∠CDE是异面直线AO与CD所成的角，利用解三角形的有关知识夹角问题即可．
【解析】
（1）∵Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到
∴CO⊥AO，BO⊥AO
又∵二面角B-AO-C是直二面角
∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角
∴∠BOC=90°
∴CO⊥BO，又AO∩BO=O
∴CO⊥平面AOB
∵CO⊂面COD
∴平面COD⊥平面AOB
（2）作DE⊥OB，垂足为E，连接CE，所以DE∥AO
∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角．
在 Rt△COE中，CO=BO=2，OE=BO=1
∴CE==
又∵DE=AO=
∴CD==2
∴在Rt△CDE中，cos∠CDE==
∴异面直线AO与CD所成角为arcos．