Question

在△ABC中，a、b、c分别为角ABC的对边，已知向量=（a+b，c），=（b-a，c-b），且|+|=|-|，
（1）求角A的值；
（2）若a=，设角B的大小为x，△ABC的周长为y，求y=f（x）的值域．

Answer

（1）由条件可得b2+c2-a2-bc=0，利用余弦定理求出cosA=，从而得到角A的值．
（2）由A=及a=，利用正弦定理可得 ==，求出b、c的值，根据两角和差的正弦公式，化简周长y=a+b+c为 +2 sin（x+），再根据
x的范围及正弦函数的定义域和值域求出 y=f（x）的值域．
【解析】
（1）∵向量=（a+b，c），=（b-a，c-b），且|+|=|-|，
∴+2=-2，∴=0，
即 （a+b ）（b-a）+c（c-b）=0，∴b2+c2-a2-bc=0．
△ABC中，由余弦定理可得 cosA==，∴A=．
（2）由A=及a=，利用正弦定理可得 ==，
∴b=2sinx，c=2sin（），0＜x＜．
∴周长y=a+b+c=+2sinx+2 sin（）=+2sinx+2 （cosx+sinx）=+2 sin（x+）．
∵0＜x＜，∴＜x+＜，＜sin（x+）≤1，∴＜2 sin（x+）≤2，2＜y≤3．
故 y=f（x）的值域为（2，3]．