(I)证明:连接AE.求出AB=2 求出AE=3.求出:AD=BD=.即D点是AB的中点,CD是等腰RT△ABC的斜边AB上的中线,
证明CD⊥AB,CD⊥AA1,且AA1∩AB=A,即可得到CD⊥面A1ABB.
(II)过D作DH⊥A1E于H,求出A1E=3,DE,A1D,DH,即可求出二面角C-A1E-D的正切值为:=1,二面角C-A1E-D的大小为45°
(I)证明:连接AE.在△ABC中,用勾股定理,求出AB=2
在△A1B1E中,用勾股定理,求出AE=3.
在△AA1D中,有:A1D2=AA12+AD2
在△BDE中,有:DE2=BE2+BD2
在△A1DE中,有AE2=A1D2+DE2=(AA12+AD2)+(BE2+BD2)
AB=AD+BD(与上式联立,解方程组)
可以求出:AD=BD=.即D点是AB的中点,CD是等腰RT△ABC的斜边AB上的中线,
也就是斜边上的高(CD⊥AB).
又在直三菱柱ABC-A1B1C1中,有AA1⊥底面ABC,又CD∈面ABC,则AA1⊥CD.
综合上述条件,CD⊥AB,CD⊥AA1,且AA1∩AB=A.,有CD⊥面A1ABB1
(II)过D作DH⊥A1E于H,AC=BC=AA1=2,A1E=3,DE=,A1D=,DH==
所以,二面角C-A1E-D的正切值为:=1,二面角C-A1E-D的大小为45°