Question

已知函数f（x）=（m-1）x²-n（x∈[0，1]）的反函数为f^-1（x），且m为函数g（x）=lnx与函数h（x）=的交点个数，n=，则函数y=[f^-1（x）]²+的值域是（ ）
A．[0，1]
B．[1，1+]
C．[-1，]
D．{0}

Answer

先根据题设，求出函数f（x）=（m-1）x2-n（x∈[0，1]）的解析式，进而可求其反函数为f-1（x），再求函数y=[f-1（x）]2+的值域．
【解析】
由题意，当0≤x≤1时，函数g（x）=lnx与函数h（x）=有交点（1，0）
当x＞1时，函数g（x）=lnx与函数h（x）=x2-4x+3有一个交点，
∵m为函数g（x）=lnx与函数h（x）=的交点个数
∴m=2
∵n=，
则==1
∴函数f（x）=（m-1）x2-n=x2-1（x∈[0，1]）
∴f-1（x）=（x∈[-1，0]）
∴函数y=[f-1（x）]2+=1+x+
∵x2-1≥0
∴x≥1或x≤-1
∵x∈[-1，0]
∴x=-1
∴y=1-1+0=0
∴函数y=[f-1（x）]2+的值域是{0}
故选D