Question

已知定义在R上的奇函数f（x），在x∈（0，1）时，f（x）=，且f（-1）=f（1）．
（1）求f（x）在x∈[-1，1]上的解析式；
（2）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜；
（3）若x∈（0，1），常数λ∈（2，），解关于x的不等式f（x）＞．

Answer

（1）由f（x）是R上的奇函数且x∈（0，1）时，f（x）=，当x∈（-1，0）时，f（x）=-f（-x）==-又由于f（x）为奇函数，最后写出当x∈[-1，1]时，f（x）的解析式即可；
（2）当x∈（0，1）时，f（x）==利用基本不等式即可证明得到f（x）＜；
（3）先由λ∈（2，），得出∈（，），将f（x）＞即4x-λ•2x+1＜0，利用换元法设t=2x∈（1，2），不等式变为t2-λt+1＜0从而解得不等式的解集即可．
【解析】
（1）∵f（x）是R上的奇函数且x∈（0，1）时，f（x）=，
∴当x∈（-1，0）时，f（x）=-f（-x）==-，（1分）
又由于f（x）为奇函数，∴f（0）=-f（-0），∴f（0）=0，（2分）
又f（-1）=-f（1），f（-1）=f（1），∴f（-1）=f（1）=0．（3分）
综上所述，当x∈[-1，1]时，f（x）=（4分）
（2）当x∈（0，1）时，f（x）==，（5分）
，当且仅当，即x=0取等号．（6分）
∵x∈（0，1），∴不能取等号，
∴f（x）＜；（8分）
（3）λ∈（2，），∈（，），f（x）＞即4x-λ•2x+1＜0，
设t=2x∈（1，2），不等式变为t2-λt+1＜0，∵λ∈（2，），∴△=λ2-4＞0，
∴＜t＜．（10分）
而当λ∈（2，）时，t＞0．
综上可知，不等式的解集是（0，log2）．（13分）．