Question

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足：（Ⅰ）对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3；（Ⅱ）f（1）=4；（Ⅲ）若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-3
（1）试求f（0）的值；
（2）试求函数f（x）的最大值；
（3）试证明：当时，f（x）＜3x+3．

Answer

（1）令x1=x2=0可得，f（0）≤3，结合已知可知f（0）≥3，从而可求f（0）
（2）任取x1＜x2∈[0，1]，则f（x2）=f[x1+（x2-x1）]≥f（x1）+f（x2-x1）-3，则可得f（x）≤f（1），从而可求函数的最大值
（3）由已知可证，时，f（x）≤f（1）=4，3x+3＞4，可证
【解析】
（1）令x1=x2=0可得，f（0）≥2f（0）-3
∴f（0）≤3
∵对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3
∴f（0）≥3
∴f（0）=3
（2）任取x1＜x2∈[0，1]
则f（x2）=f[x1+（x2-x1）]≥f（x1）+f（x2-x1）-3
由x2-x1＞0可得f（x2-x1）≥3
∴当x∈[0，1]时，f（x）≤f（1）=4
∴函数的最大值为4
（3）证明：当时，f（x）≤f（1）=4=1+3
时，3x+3＞3×+3=4
∴f（x）＜3x+3