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已知等差数列{an}的前n项的和为60,且a1,a6,a21成等比数列. (1)...

已知等差数列{an}的前n项的和为60,且a1,a6,a21成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}的前n项和Sn满足Sn+1-Sn=an(n∈N*),且b1=5,求Sn及数列{bn}的通项公式.
(1)设出等差数列的公差为d,由等差数列{an}的前6项和为60,且a6为a1和a21的等比中项,根据等差数列的性质及前n项和公式列出关于a1和d的方程组,求出方程组的解即可得到a1和d的值,进而写出通项公式an及前n项和Sn. (2)法1,利用累加法先求出数列{Sn}的通项公式,再求出数列{bn}的通项公式, 法2,由Sn+1-Sn=an=bn+1,先求出数列{bn}的通项公式,再求Sn. 【解析】 (1)设等差数列{an}的公差为d,则 则 解得或 ∴an=2n+3.或an=10. (2)当an=2n+3时, ∵Sn+1-Sn=an ∴当n≥2时Sn-Sn-1=an-1 Sn-1-Sn-2=an-2 … S3-S2=a2 S2-S1=a1 ∴Sn=S1+a1+a2+…+an-1 =5+ =n2+2n+2. 又S1=b1=5也适合上式,所以∴Sn=n2+2n+2 ∵当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=2n+1, b1=5不适合上式, 所以 当an=10时,数列{Sn}是以5为首项,以10为公差的等差数列,得出Sn=5+10(n-1)=10n-5 当n≥2时bn=Sn-Sn-1=10,b1=5不适合上式 ∴. 另解(2)由Sn+1-Sn=an=bn+1 an=2n+3时,bn+1=2n+3=2(n+1)+1 当n≥2时bn=2n+1,b1=5 所以 当n≥2时,Sn=5+=n2+2n+2. S1=b1=5也适合上式,所以∴Sn=n2+2n+2 当an=10时,bn+1=an=10,又b1=5 ∴. Sn=5+10(n-1)=10n-5
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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