Question

设a₁，a₂，a₃，a₄，a₅为自然数，A={a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}，B={a₁²，a₂²，a₃²，a₄²，a₅²}，且a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，并满足A∩B={a₁，a₄}，a₁+a₄=10，A∪B中的所有元素之和为256，则集合A为    ．

Answer

先由条件A∩B={a1，a4}，且五个自然数的大小关系，得出a1=a12，求出a1的值，再由a1+a4=10，求出a4的值，进而确定出a2=3或a3=3，分两种情况考虑：①若a3=3时，a2=2，由A∪B中的所有元素之和为256，求出a5的值，从而确定出集合A；②若a2=3时，表示出此时A和B，则得到a3的范围，根据a3及a5表示自然数，得到只有a3=5时，a5=11，进而确定出集合A，综上，得到满足题意的集合A．
【解析】
由A∩B={a1，a4}，且a1＜a2＜a3＜a4＜a5 ，
得到只可能a1=a12，即a1=1，
又a1+a4=10，
∴a4=9，且a4=9=ai2（2≤i≤3），
∴a2=3或a3=3，…（2分）
①若a3=3时，a2=2，此时A={1，2，3，9，a5}，B={1，4，9，81，a52}，
因a52≠a5，
故1+2+3+9+4+a5+81+a52=256，
从而a52+a5-156=0，解得a5=12，
所以A={1，2，3，9，12}；…（5分）
②若a2=3时，此时A={1，3，a3，9，a5}，B={1，9，a32，81，a52}，
因1+3+9+a3+a5+81+a32+a52=256，
从而a52+a5+a32+a3-162=0，
又a2＜a3＜a4，则3＜a3＜9，
当a3=4、6、7、8时，a5无整数解，
当a3=5时，a5=11，
所以A={1，3，5，9，11}；…（8分）
综上，A={1，2，3，9，12}或{1，3，5，9，11}．
故答案为：{1，2，3，9，12}或{1，3，5，9，11}