Question

定义在（0，+∞）上的增函数f（x）满足：对任意的x＞0，y＞0都有f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求f（1） 的值；
（2）请举出一个符合条件的函数f（x）；
（3）若f（2）=1，解不等式f（x²-5）-f（x）＜2．

Answer

（1）令x=y=1即可求出
（2）举一底数大于1的对手函数即可．
（3）先由f（2）=1求出f（4）=2，f（x2-5）-f（x）＜2⇔f（x2-5）＜f（x）+f（4）=f（4x），
再由单调性转化出等价不等式求解即可．
【解析】
（1）令x=y=1，
则f（1）=f（1）+f（1）⇒f（1）=0．
（2）y=logax（a＞1）
（3）f（2）=1
∴2=1+1=f（2）+f（2）=f（4）
∴原不等式等价于f（x2-5）＜f（x）+f（4）=f（4x），
因为f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，所以

所以原不等式解集是