Question

如图，已知P、O分别是正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁上、下底面的中心，E是AB的中点，AB=kAA₁，其中k为非零实数，
（1）求证：A₁E∥平面PBC；
（2）当时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（3）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

Answer

依题意，设此棱柱的高AA1=2，则AB=2k，以O为原点建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标：（1）取BC中点F，得，利用线面平行的判定定理证明即可；（2）求平面PBC的法向量，利用向量夹角公式计算与法向量夹角的余弦值，其绝对值即为线面角的正弦值；（3）利用重心坐标公式计算三角形PBC重心的坐标，可知若O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心，当且仅当=0，列方程即可解得k值
【解析】
设此棱柱的高AA1=2，则AB=2k，如图建立空间直角坐标系：
则P（0，0，2），O（0，0，0），B（k，k，0），C（-k，k，0），A1（k，-k，2），A（k，-k，0），
E（k，0，0）
∴=（-2k，0，0），=（k，k，-2），=（0，k，-2），=（k，-k，-2）
（1）取BC中点F（0，k，0）
则=（0，k，-2）
∴
∴A1E∥PF，PF⊂面PBC，A1E⊄面PBC
∴A1E∥平面PBC
（2）当时，∴=（-2，0，0），=（，，-2），
=（，-，-2）
设平面PBC的法向量为=（x，y，z）
则
∴取=（0，，1）
∴cos＜，＞===-=-
设直线PA与平面PBC所成角为θ，则sinθ=
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为
（3）设△PBC的重心坐标为M（x，y，z），则
x==0，y==，z==
∴M（0，，）
∴=（0，，）
且=0，即OM⊥BC
若OM⊥平面PBC，
则=×k+=0
解得k=±
∴k=±时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心