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已知实数c≥0,曲线manfen5.com 满分网与直线l:y=x-c的交点为P(异于原点O).在曲线C上取一点P1(x1,y1),过点P1作P1Q1平行于x轴,交直线l于Q1,过点Q1作Q1P2平行于y轴,交曲线C于P2(x2,y2);接着过点P2作P2Q2平行于x轴,交直线l于Q2,过点Q2作Q2P3平行于y轴,交曲线C于P3(x3,y3);如此下去,可得到点P4(x4,y4),P5(x5,y5),…,Pn(xn,yn),设点P坐标为manfen5.com 满分网,x1=b,0<b<a.
(1)试用c表示a,并证明a≥1;
(2)证明:x2>x1,且xn<a(n∈N*);
(3)当manfen5.com 满分网时,求证:manfen5.com 满分网
(1)点P的坐标满足方程组,由 ,可得 a≥1. (2)由 ,0<b<a,a≥1,可得  ,即x2>x1.用数学归纳法证明xn<a. (3)当c=0时,,由 ,可得 xk单调递增.当n≥1时, ,, 从而得到  . (1)点P的坐标满足方程组,∴, 解得平方,得,∵c≥0 ∴,所以a≥1. (2)由已知,得 ,,, 即x1=b,,.   由(1)知, ∴,∵0<b<a,a≥1, ∴,即x2>x1; 下面用数学归纳法证明xn<a(n∈N*):①当n=1时,x1=b<a; ②假设当n=k时,xk<a,则当n=k+1时,; 综上,xn<a(n∈N*). (3)当c=0时,,,∴, ∵,∴xk单调递增. ∴当n≥1时,有,即, 又,∴, ∴.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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