Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=S_n+（n+1）（n∈N^*），其中S_n为{a_n}的前n项和，
（1）用a_n表示a_n+1；
（2）证明数列{a_n+1}是等比数列；
（3）求a_n和S_n．

Answer

（1）由已知得出an+1=Sn+（n+1）当n≥2时，an=Sn-1+n，两式相减并整理、得出an+1=2an+1．（n≥2），并对n=1单独验证．
（2）在an+1=2an+1两边同时加上1得出an+1+1=2（an+1），可以判定{an+1}是等比数列
（3）通过求出数列{an+1} 的通项公式得出数列{an}的通项公式，再求和即可．
【解析】
（1）由an+1=Sn+（n+1）①
得出n≥2时
 an=Sn-1+n ②
①-②得出
an+1-an=an+1
整理an+1=2an+1．（n≥2）
由在①中令n=1得出a2=a1+2=3，满足a2=2a1+1
所以an+1=2an+1．（n≥1）
 （2）在an+1=2an+1两边同时加上1得出
an+1+1=2（an+1）
根据等比数列的定义，得出数列{an+1}是以2为公比的等比数列
（3）由（2）数列{an+1} 的通项公式为an+1=2•2 n-1=2n
所以an=2n-1，
Sn=（21-1）+（22-1）+…（2n-1）
=-n
=2 n+1-2-n．