Question

9个正数排成3行3列如下：
a₁₁a₁₂a₁₃
a₂₁a₂₂a₂₃
a₃₁a₃₂a₃₃
其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等．已知a₁₂=1，，
（1）求a₁₁，第一行数列的公差d₁，及各列数列的公比q；
（2）若保持这9个正数的位置不动，按照（1）中所求的规律排布，补做成一个
n行n列的数表．
a₁₁ a₁₂ a₁₃…，a_1n
a₂₁ a₂₂ a₂₃…，a_2n
a₃₁ a₃₂ a₃₃…，a_3n
…
a_n1 a_n2 a_n3…，a_nn
试求a₁₁+a₂₂+…+a_nn的值．

Answer

（1）直接根据条件把a12=1，，用首项，公差、公比表示，列出方程组求出首项、公差、公比；
（2）求出akk，据akk的特点，利用错位相减法求出数列的和．
【解析】
（1）由条件得：⇒．
（2）∵akk==[a11+（k-1）d1]•qk-1=k．
∴Sn=a11+a22+a33+…+ann
=+2×+…+n•；
∴Sn=+2×+…+（n-1）+n•．
∴Sn=++…+-n•=-n•；
∴Sn=2-（n+2）．