Question

设F₁、F₂分别是椭圆+y²=1的左、右焦点．
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求向量乘积的取值范围；
（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且∠MON为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
（3）设A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．求四边形AEBF面积的最大值．

Answer

（1）由题设知，，设P（x，y），则=x2+y2-3=．由此能够求出向量乘积的取值范围．
（2）设直线l：y=kx-2，M（x1，y1），B（x2，y2），联立，得：，由韦达定理和根的判别式知：或k，又0°＜∠MON＜90°⇔cos∠MON＞0⇔＞0，由此能求出直线l的斜率k的取值范围．
（3）由题设|BO|=1，|AO|=2．设y1=kx1，y2=kx2，由x2＞0，y2=-y1＞0，故四边形AEBF的面积为S=S△BEF+S△AEF=x2+2y2=，由此能求出S的最大值．
【解析】
（1）根据题意易知，所以，
设P（x，y），则
=x2+y2-3
=
=．
故-2．
（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx-2，M（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y，整理得：，
∴，
由，
得：或k，
又0°＜∠MON＜90°⇔cos∠MON＞0⇔＞0，
∴x1x2+y1y2＞0，
又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4
=
=．
∵，
即k2＜4，∴-2＜k＜2．
故由①、②得，或．
（3）由题设，|BO|=1，|AO|=2．
设y1=kx1，y2=kx2，由x2＞0，y2=-y1＞0，
故四边形AEBF的面积为S=S△BEF+S△AEF=x2+2y2=
=≤=2，
当x2=2y2时，上式取等号．所以S的最大值为2．