Question

已知A，B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点，线段AB的长为2，D是AB的中点．
（1）求动点D的轨迹C的方程；
（2）若过点（1，0）的直线l与曲线C交于不同两点P、Q，
①当|PQ|=3时，求直线l的方程；
②试问在x轴上是否存在点E（m，0），使•恒为定值？若存在，求出E点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设D（x，y），A（a，a），B（b，-b），然后根据线段AB的长为2，D是AB的中点消去a与b，得到x与y的等量关系，即为动点D的轨迹C的方程；
（2）①讨论直线l与x轴是否垂直，然后利用点到直线的距离公式建立等式关系，从而求出直线方程；
②讨论直线l的斜率是否存在，不存在时直接求•，存在时，将直线与圆联立方程组，消去y，然后设P（x1，y1），Q（x2，y2），将•表示出来，使其与k无关即可求出m的值．
【解析】
（1）设D（x，y），A（a，a），B（b，-b），
∵D是AB的中点，∴x=，y=，
∵|AB|=2，∴（a-b）2+（a+b）2=12，
∴（2y）2+（2x）2=12，∴点D的轨迹C的方程为x2+y2=3．
（2）①当直线l与x轴垂直时，P（1，），Q（1，-），此时|PQ|=2，不符合题意；
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1），由于|PQ|=3，所以圆心C到直线l的距离为，
由=，解得k=±．故直线l的方程为y=±（x-1）．
②当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x-1），
由消去y得（k2+1）x2-2k2x+k2-3=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2）则由韦达定理得x1+x2=，x1x2=，
则=（m-x1，-y1），=（m-x2，-y2），
∴•=（m-x1）（m-x2）+y1y2=m2-m（x1+x2）+x1x2+y1y2
=m2-m（x1+x2）+x1x2+k2（x1-1）（x2-1）
=m2-++k2 （-+1）=
要使上式为定值须=1，解得m=1，∴•为定值-2，
当直线l的斜率不存在时P（1，），Q（1，-），
由E（1，0）可得=（0，-），=（0，），
∴•=-2，
综上所述当E（1，0）时，•为定值-2．