Question

如图所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=1，∠ACB=90°，点D为AB的中点．
1）求证：BC₁∥面A₁DC；
2）求棱AA₁的长，使得A₁C与面ABC₁所成角的正弦值等于．

Answer

（1）连接AC1与A1C交于点E，则E为AC1的中点，又点D是AB中点，根据中位线定理可知DE∥BC1，而DE⊂面A1DC，BC1⊄面A1DC，满足线面平行的判定定理，从而BC1∥面A1DC；
（2）建立坐标系A（1，0，0）B（0，1，0）C1（0，0，a），求出平面ABC1的发向量，然后根据=建立等式，解之即可求出所求．
【解析】
（1）连接AC1与A1C交于点E，则E为AC1的中点，又点D是AB中点，则DE∥BC1，
而DE⊂面A1DC，BC1⊄面A1DC，则有BC1∥面A1DC；
（2）建立坐标系A（1，0，0）B（0，1，0）C1（0，0，a）
求得平面ABC1的发向量
=求得a=或
∴棱AA1的长为或