Question

在数列{a_n}中，已知a₁=1，a_n+1=2a_n+2（n∈N^*）
（Ⅰ）求证：数列{a_n+2}是等比数列；
（Ⅱ） 求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）由an+1=2an+2可得an+1+2=2（an+2），可证
解（2）由（I）可得，利用分组求和，结合等比数列的求和公式可求
（I）证明：∵an+1=2an+2
∴an+1+2=2（an+2）
∵a1=1
∴a1+2=3
∴数列{an+2}是以3为首项，以2为公比的等比数列；
（2）【解析】
由（I）可得
∴
∴Tn=（3•2-2）+（3•21-2）+…+（3•2n-1-2）
=3（1+2+22+…+2n-1）-2n
=
=3•2n-2n-3．