Question

设二次函数f（x）=x²+x+c（c＞0）．若f（x）=0有两个实数根x₁，x₂（x₁＜x₂）．
（Ⅰ）求正实数c的取值范围；
（Ⅱ）求x₂-x₁的取值范围；
（Ⅲ）如果存在一个实数m，使得f（m）＜0，证明：m+1＞x₂．

Answer

（Ⅰ）利用方程有两个不相等的实数根，通过判别式大于0，直接求正实数c的取值范围；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）利用韦达定理，结合x1＜x2，，利用c的范围，求出x2-x1的取值范围；
（Ⅲ）利用二次函数图象的开口方向，结合f（m）＜0，利用x2-x1∈（0，1），通过放缩即可证明m+1＞x2．
（本小题满分14分）
【解析】
（Ⅰ）由x2+x+c=0有两个实数根x1，x2（x1＜x2）及c＞0得可知：…（2分）
（Ⅱ）依根与系数的关系，得：…（4分）
又x2-x1＞0，所以，，
∵，∴1＞＞0
∴0＜x2-x1＜1…（8分）
∴故x2-x1∈（0，1）
（Ⅲ）证：∵f（m）＜0且抛物线f（x）=x2+x+c的开口向上
∴x1＜m＜x2…（10分）
可知：m-x1＞0
而m+1＞m+（x2-x1）=（m-x1）+x2＞x2…（14分）